令绝对值内为 0，得到两个关键分界点 x = -1 和 x = 5。
① 当 x < -1 时：两个式子皆为负数，脱去绝对值全添负号：
S = -(x - 5) - (x + 1) = -x + 5 - x - 1 = -2x + 4。
因为 x < -1，所以 -2x > 2，计算得 S > 6（越往左重复路段越长，数值越大）；
② 当 -1 ≤ x ≤ 5 时：x + 1 ≥ 0，x - 5 ≤ 0，脱去绝对值正负抵消：
S = -(x - 5) + (x + 1) = -x + 5 + x + 1 ≡ 6（常量，无多余折返路）；
③ 当 x > 5 时：两个式子皆为正数，直接脱去绝对值：
S = (x - 5) + (x + 1) = 2x - 4。
因为 x > 5，所以 2x > 10，计算得 S > 6（越往右重复路段越长，数值越大）。
结论：代数式的最小值为 6，取得最小值时 x 的取值范围是 -1 ≤ x ≤ 5。
|x + 1| = |x - (-1)| 表示数轴动点 P 到定点 A(-1) 的距离 PA；
|x - 5| 表示数轴动点 P 到定点 B(5) 的距离 PB。
由两点之间线段最短原理可知：PA + PB ≥ AB = 5 - (-1) = 6。
当且仅当动点 P 落在封闭线段 AB 上时取等号，此时两段距离之和恰好填满线段 AB 全程，没有任何回头折返路，距离和恒等于 6。因此最小值为 6，取值范围为 -1 ≤ x ≤ 5。
利用绝对值三角不等式性质 |a| + |b| ≥ |a - b|，当且仅当 ab ≤ 0 时取等号。
对原式进行配对变形：
|x - 5| + |x + 1| = |5 - x| + |x + 1| ≥ |(5 - x) + (x + 1)| = |6| = 6。
取等条件即为：(5 - x)(x + 1) ≥ 0。
解该一元二次不等式，直接得出取值范围为 -1 ≤ x ≤ 5。